11 de abril de 2010

Teoremas da completude

Acabo de publicar uma recensão, da autoria de Rui Daniel Cunha, do livro The Mathematics of Logic, de Richard Kaye.

3 comentários:

  1. Gostaria de parabenizar o Rui pela excelente resenha: está clara, muito informativa e didática. Só dois pontos de discordância:

    1)Falar de "manual extremamente avançado" me parece uma contradição nos termos: o que se espera de um manual é que ele apresente os resultados, argumentos, conceitos, etc, de uma determinada área, de maneira acessível. Um manual que só é compreensível para quem já domina o seu conteúdo não é manual. Se o livro fala de resultados metalógicos de um ponto de vista algébrico diga apenas isso: é um livro sobre resultados metalógicos de um ponto de vista algébrico. Eu já vi vários manuais desse gênro: são ótimos para você começar a aprender o assunto, desde que você já saiba do assunto.

    2) Dizer que a verdadeira lógica tem que ser matematizada implica imediatamente em concluir que a lógica informal não é lógica, mas não admitiria essa conclusão. Por modus tollens, eu concluo o contrário: que a verdadeira lógica não tem que ser matematizada.

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  2. O cientismo tem destas coisas. Porque a matemática é vista como mais “científica” do que a lógica (por ser usada na física, ao contrário da lógica), qualquer pessoa desprevenida que sofra de cientismo considera logo que algo matematizado é “mais científico”. Portanto, para a lógica ser “mais científica”, teria de ser matematizada. Se isto fosse verdade, e esta é a tese do autor do livro e não apenas do autor da recensão do livro, então o projecto de Frege e Russell seria uma estupidez, porque ou 1) estariam a tentar reduzir uma coisa “mais científica”, a matemática, a outra coisa “menos científica”, a lógica, ou 2) estariam a reduzir uma coisa, a matemática, a outra, sendo ambas “igualmente científicas” por a segunda ser… a primeira.

    Este tipo de ideias pode ser fruto de confusão conceptual. As estruturas mais básicas da lógica são mais básicas do que as estruturas mais básicas da matemática, num sentido, mas noutro sentido ocorre o inverso. As estruturas mais básicas da lógica são mais básicas no sentido de serem mais abrangentes — aplicam-se a qualquer tipo de verdades, por exemplo, sejam elas sobre números, figuras num plano, cortes tridimensionais, deuses, pessoas, ou calos nos pés. As estruturas mais básicas da matemática são mais básicas no sentido de serem muitíssimo mais pormenorizadas na aplicação a aspectos mais diferenciados da realidade, e é por isso que são directamente importantes para a física e a lógica não. Assim, quando se pensa de uma maneira, como Frege e Russell, vê-se a lógica como fundamento da matemática. Quando se pensa de outra maneira, vê-se a matemática como fundamento da lógica. A verdade é que tanto podemos matematizar a lógica, como podemos “logificar” a matemática. E se há algo que me pareça prometedor explorar é precisamente o estudo desta interacção, ao invés de ficar discutindo se é mais importante matematizar a lógica ou logificar a matemática.

    Quanto à ideia de que a lógica só é lógica se for matematizada, é pura retórica insciente.

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  3. O novo link da recensão: http://criticanarede.com/mathematics.html

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